8. Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции

 

Теорема 8.1. (Лемма Больцано-Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

Доказательство

  1. Если последовательность принимает конечное число значений, т.е. , то хотя бы одно из значений она принимает бесконечно много раз. Тогда можно выделить такую подпоследовательность , которая состояла бы только из элементов из последовательности , т.е. ее предел был бы равен b : .
  2. Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечно. Так как - бесконечное ограниченное множество, то по теореме 3.1 существует предельная точка этого множества, равная A. Покажем, что существует последовтельность и . Существует такой, что . Далее, существует такой, что . И так далее, . Получаем, что для любого k . Значит, полагая ,

.

 

Определение

Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует такое , что для всяких m,n больше разность значений этих элементов меньше, т.е. .

 

Теорема 8.2 (Критерий Коши для последовательности)

Если существует предел последовательности , то эта последовательность является фундаментальной.

Доказательство

Необходимость . То, что последовательность имеет предел, запишем так: . Значит, . По свойству модулей: , обозначив , имеем: .

Достаточность .

  1. Из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность. . Фиксируя и получаем: . Получаем, что переменная ограничена, причем эти границы можно раздвинуть, чтобы охватить и первые N значений: . Для этого выберем . Тогда , т.е. последовательность ограничена.
  2. По лемме Больцано-Вейерштрасса такие, что .
  3. Докажем теперь, что . Необходимо доказать, что . По условию теоремы: , и, по ранее доказанному (п.1,2) : . Можно выбрать K таким, что . Тогда, совмещая имеющиеся неравенства, и используя свойство модулей: получаем: . Таким образом,

.

 

Теорема 8.3 (Критерий Коши для функции)

Если для любого существует такое , что для любых из проколотой окрестности точки a разность значений функции в этих точках меньше, то существует предел функции при , т.е. .

Доказательство

Необходимость . Пусть существует предел . Тогда . Так как , то .

Достаточность .

  1. Теорема об эквивалентности двух определений предела: (Определение предела по Гейне-Борелю).
  2. Применяем критерий Коши для последовательности.
  3. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность: , сходящуюся к a. Последовательность значений функции

не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.